Evaluación escrita formal sobre límites 0/0 con enfoque conceptual y gráfico

Nombre del estudiante: ______________________

Fecha: ______________________

Asignatura: Matemáticas - Grado 11

Puntaje total: 30 puntos

I. Selección múltiple (6 ítems / 6 puntos)

1. ¿Cuál de las siguientes funciones presenta un límite de la forma 0/0 cuando x se acerca a 2?

   • a) f(x) = (x² - 4)/(x - 2)
   • b) g(x) = (x + 2)/(x - 2)
   • c) h(x) = (x² - 1)/(x + 1)
   • d) k(x) = (x - 2)/(x² - 4)

2. ¿Qué procedimiento es adecuado para resolver límites que presentan la forma indeterminada 0/0?

   • a) Sustituir directamente el valor y concluir que no existe el límite.
   • b) Simplificar la expresión algebraicamente para eliminar la indeterminación.
   • c) Cambiar el valor al que se acerca x para evitar la indeterminación.
   • d) Multiplicar el numerador y denominador por el mismo número.

3. Al graficar una función cuyo límite en x = a es de la forma 0/0, ¿qué comportamiento gráfico es esperable cerca de x = a?

   • a) La función tiene un salto (discontinuidad removible) o un agujero.
   • b) La función es discontinua por salto y no tiene límite.
   • c) La función es constante en todo el dominio.
   • d) La función no está definida en ningún punto cercano a x = a.

4. ¿Cuál es el valor del límite lim_x→1 (x³ - 1)/(x - 1)?

   • a) 0
   • b) 1
   • c) 3
   • d) No existe

5. Para la función f(x) = (sin x)/x, ¿cuál es la forma indeterminada cuando x → 0?

   • a) 0/0
   • b) ∞/∞
   • c) 1/1
   • d) No es una forma indeterminada

6. Si el límite lim_x→a f(x) = L y f(a) no está definido, ¿qué indica esto respecto al límite?

   • a) El límite no existe porque la función no está definida.
   • b) El límite puede existir aunque la función no esté definida en a.
   • c) El límite debe ser infinito.
   • d) La función es discontinua y el límite es nulo.

II. Verdadero/Falso con justificación (4 ítems / 8 puntos)

1. El límite lim_x→3 (x² - 9)/(x - 3) es una indeterminación 0/0.

   • Verdadero / Falso

   Justifique su respuesta:

   ______________________________________________________________________

2. Si una función tiene límite finito en un punto y presenta indeterminación 0/0, siempre se puede eliminar la indeterminación factorizando.

   • Verdadero / Falso

   Justifique su respuesta:

   ______________________________________________________________________

3. El gráfico de una función con límite 0/0 en x = a siempre presenta una asíntota vertical en x = a.

   • Verdadero / Falso

   Justifique su respuesta:

   ______________________________________________________________________

4. Una indeterminación 0/0 en el límite indica que no existe límite en ese punto.

   • Verdadero / Falso

   Justifique su respuesta:

   ______________________________________________________________________

III. Preguntas de respuesta corta (3 ítems / 6 puntos)

1. Explique con sus palabras qué significa que un límite sea de la forma 0/0 y por qué es importante reconocer esta indeterminación.

   Respuesta: ________________________________________________________________

2. Para la función f(x) = (x² - 1)/(x - 1), calcule el límite cuando x se acerca a 1 y explique el procedimiento.

   Respuesta: ________________________________________________________________

3. ¿Cómo puede ayudar la representación gráfica en la interpretación de límites que presentan la forma 0/0? Mencione al menos dos aspectos.

   Respuesta: ________________________________________________________________

IV. Pregunta de desarrollo o ensayo (1 ítem / 10 puntos)

La función f(x) = (x³ - 8)/(x - 2) presenta una indeterminación cuando x se acerca a 2.

1. Calcule el límite lim_x→2 f(x) mostrando todos los pasos.
2. Describa qué sucede en el gráfico de la función cerca de x = 2 y explique conceptualmente por qué el límite existe a pesar de que la función no está definida en x = 2.
3. Mencione una posible aplicación o situación real donde entender este tipo de límites sea útil.

Respuesta: ____________________________________________________________________________

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Tabla de puntajes por sección

Clave de respuestas

1. I. Selección múltiple
   1. a) Presenta forma 0/0 porque al sustituir x=2, numerador y denominador son 0.
   2. b) Correcto: simplificar para resolver 0/0.
   3. a) Correcto: función tiene discontinuidad removible o agujero.
   4. c) Límite = 3 (factorizando x³-1 = (x-1)(x² + x +1), queda límite de x²+x+1 en x=1)
   5. a) 0/0 porque sin(0)=0 y denominador 0.
   6. b) El límite puede existir aunque f(a) no esté definido.
2. II. Verdadero/Falso con justificación
   1. Verdadero. Al sustituir x=3, numerador y denominador son 0.
   2. Verdadero. La factorización elimina la indeterminación.
   3. Falso. No siempre hay asíntota vertical; puede ser discontinuidad removible.
   4. Falso. La indeterminación 0/0 requiere análisis para determinar si límite existe o no.
3. III. Respuesta corta
   • Se espera que expliquen que 0/0 indica que al sustituir el valor el numerador y denominador son cero, por lo que no se puede calcular el límite directamente y se debe usar otro método.
   • Demostrar cálculo:
     f(x) = (x² - 1)/(x - 1) = ((x-1)(x+1))/(x-1) = x + 1, límite en x→1 es 2.
   • El gráfico muestra si la función tiene un agujero, asíntota o comportamiento cercano al punto; ayuda a visualizar continuidad o discontinuidad.
4. IV. Desarrollo / Ensayo
   • Cálculo:
     f(x) = (x³ - 8)/(x - 2) = ((x - 2)(x² + 2x + 4))/(x - 2) = x² + 2x + 4, límite en x→2 es 12.
   • Gráfico: función tiene un agujero en x=2 (no está definida), pero la tendencia del valor se acerca a 12; el límite existe porque el comportamiento cercano es definido.
   • Aplicación: análisis de comportamiento en física para cambios instantáneos, optimización en economía, o cálculo de velocidades instantáneas.

Criterios de calificación para preguntas abiertas

• Verdadero/Falso con justificación: 2 puntos por ítem: 1 punto por la selección correcta, 1 punto por justificación clara y coherente.
• Respuesta corta: 2 puntos por respuesta completa y coherente, que demuestre comprensión de la indeterminación 0/0 y sus métodos de resolución.
• Desarrollo/Ensayo:
  • 4 puntos por cálculo correcto y procedimiento claro.
  • 3 puntos por explicación conceptual y gráfica adecuada.
  • 3 puntos por contextualización y ejemplo de aplicación real pertinente.