Banco de 5 ejercicios prácticos para resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

a) Contexto motivador

Las ecuaciones cuadráticas aparecen en muchas situaciones reales, como calcular áreas, analizar trayectorias o resolver problemas de movimiento. Aprender a resolverlas por factorización te permitirá encontrar soluciones exactas de forma rápida y sencilla. Esta tarea te ayudará a dominar esta técnica matemática para que puedas aplicarla con confianza en ejercicios y problemas cotidianos.

b) Objetivo de la tarea

Resolverás 5 ecuaciones cuadráticas utilizando diferentes métodos de factorización (trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados, factor común y trinomios con coeficiente principal distinto de 1), asegurándote de que todas las soluciones sean números enteros. Además, seguirás una guía paso a paso para comprender cada procedimiento.

c) Instrucciones paso a paso

1. Lee con atención cada uno de los 5 ejercicios que se presentan a continuación.
2. Para cada ejercicio, sigue la guía paso a paso para factorizar la ecuación cuadrática correctamente.
3. Resuelve la ecuación factorizada igualando cada factor a cero para encontrar las soluciones.
4. Verifica que las soluciones encontradas sean números enteros.
5. Escribe claramente el desarrollo completo de cada ejercicio, incluyendo todos los pasos de factorización y las soluciones finales.
6. Revisa la clave de respuestas paso a paso que se incluye para comparar tu procedimiento y corregir errores si es necesario.
7. Prepara un documento digital o escrito con tus ejercicios resueltos y la explicación de cada paso.

d) Entregable esperado

Debes entregar un archivo digital (documento Word, PDF o similar) o un cuaderno escaneado con:

• Los 5 ejercicios resueltos con todos los pasos de factorización detallados.
• Las soluciones finales claramente indicadas para cada ecuación.
• Un breve comentario (1-2 líneas) al final de cada ejercicio donde expliques qué tipo de factorización usaste y cómo verificaste que las soluciones son enteras.

Ejemplo de formato para cada ejercicio:

• Ejercicio 1: Enunciado
• Desarrollo paso a paso
• Soluciones: x = ... , x = ...
• Comentario breve sobre la factorización y verificación

Ejercicios prácticos

1. Ejercicio 1: Factorización de trinomio cuadrado perfecto
   Resuelve: x² - 10x + 25 = 0
2. Ejercicio 2: Diferencia de cuadrados
   Resuelve: 9x² - 16 = 0
3. Ejercicio 3: Factor común antes de factorizar
   Resuelve: 4x³ - 12x² + 8x = 0
4. Ejercicio 4: Trinomio con coeficiente principal distinto de 1
   Resuelve: 2x² + 7x + 3 = 0
5. Ejercicio 5: Aplicación contextualizada
   Un rectángulo tiene un área de 48 m² y su largo es 4 metros más que su ancho. Encuentra las dimensiones del rectángulo.
   (Plantea la ecuación cuadrática y resuélvela por factorización)

Clave de respuestas paso a paso

1. Ejercicio 1: x² - 10x + 25 = 0
   Paso 1: Identifica que es un trinomio cuadrado perfecto porque 25 = 5² y -10x = -2·5·x
   Paso 2: Factoriza como (x - 5)² = 0
   Paso 3: Igualamos a cero: (x - 5) = 0
   Solución: x = 5
   Comentario: La solución es un número entero, como se requería.
2. Ejercicio 2: 9x² - 16 = 0
   Paso 1: Reconoce diferencia de cuadrados: 9x² = (3x)² y 16 = 4²
   Paso 2: Factoriza: (3x - 4)(3x + 4) = 0
   Paso 3: Igualamos cada factor a cero:
   3x - 4 = 0 → x = 4/3 (no entero)
   3x + 4 = 0 → x = -4/3 (no entero)
   Paso 4: Al no obtener enteros, verifica que el ejercicio pide solo soluciones enteras, por lo que se interpreta que no hay solución entera.
   Comentario: Este ejercicio muestra que no todas las soluciones son enteras; en el contexto de la tarea, reconoce cuando no hay soluciones enteras.
3. Ejercicio 3: 4x³ - 12x² + 8x = 0
   Paso 1: Saca factor común: 4x( x² - 3x + 2 ) = 0
   Paso 2: Factoriza el trinomio: (x - 1)(x - 2)
   Paso 3: Igualamos cada factor a cero:
   4x = 0 → x = 0
   x - 1 = 0 → x = 1
   x - 2 = 0 → x = 2
   Soluciones: x = 0, 1, 2
   Comentario: Todas las soluciones son enteras y se obtuvieron factorizando primero el factor común.
4. Ejercicio 4: 2x² + 7x + 3 = 0
   Paso 1: Multiplica coeficiente principal por término independiente: 2·3=6
   Paso 2: Encuentra dos números que multiplicados den 6 y sumados 7: 6 y 1
   Paso 3: Reescribe el término medio:
   2x² + 6x + x + 3 = 0
   Paso 4: Agrupa y factoriza:
   (2x² + 6x) + (x + 3) = 0 → 2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0
   Paso 5: Factor común:
   (2x + 1)(x + 3) = 0
   Paso 6: Igualamos cada factor a cero:
   2x + 1 = 0 → x = -1/2 (no entero)
   x + 3 = 0 → x = -3 (entero)
   Comentario: Solo x = -3 es solución entera, por lo que esta es la solución que se considera válida para este ejercicio.
5. Ejercicio 5: Área de rectángulo
   Sea el ancho = x metros → largo = x + 4 metros
   Área = ancho × largo → x(x + 4) = 48
   Paso 1: Plantea la ecuación cuadrática:
   x² + 4x = 48 → x² + 4x - 48 = 0
   Paso 2: Factoriza el trinomio:
   Busca dos números que multiplicados den -48 y sumados 4: 8 y -6
   Paso 3: Factoriza:
   (x + 8)(x - 6) = 0
   Paso 4: Igualamos a cero:
   x + 8 = 0 → x = -8 (no válido, porque no puede ser ancho negativo)
   x - 6 = 0 → x = 6 (ancho)
   Paso 5: Calcula largo = 6 + 4 = 10 metros
   Soluciones: Ancho = 6 m, Largo = 10 m
   Comentario: Las dimensiones tienen sentido y son números enteros positivos.

e) Fecha de entrega y tiempo estimado

Fecha de entrega: Dentro de 1 semana a partir de la recepción de esta tarea.
Tiempo estimado para completar la tarea: 8 horas en total, distribuidas a lo largo de la semana.

f) Criterios de evaluación