Secuencia didáctica: del contexto a la expresión con números enteros

Área: Matemáticas

Asignatura: Números y operaciones

Nivel: Secundaria, 12-15 años

Duración: 5 sesiones de 60 minutos, una semana, 300 minutos en total

Metodologías: Aprendizaje cooperativo, gamificación, resolución de problemas y uso complementario de recursos digitales.

Propósito de aprendizaje

Al finalizar las cinco sesiones, los estudiantes resolverán problemas contextualizados con números enteros que involucren suma, resta, multiplicación y división, representarán las situaciones mediante rectas numéricas o expresiones matemáticas, aplicarán correctamente las reglas de los signos y explicarán por escrito u oralmente el procedimiento utilizado y la coherencia de su respuesta.

Objetivo de aprendizaje SMART

En cinco sesiones, cada estudiante resolverá correctamente al menos 4 de 5 problemas contextualizados con números enteros, incluyendo situaciones de temperaturas, ganancias, pérdidas, cambios de nivel y deudas, combinando las cuatro operaciones, y justificará cada respuesta mediante una representación, una expresión matemática y una explicación escrita de al menos dos pasos.

Producto final

En equipos, los estudiantes elaborarán y resolverán un “Desafío de los enteros”: una situación contextualizada que combine al menos tres operaciones con números enteros, incluyendo números negativos. Presentarán:

• El contexto y los datos relevantes.
• La traducción del contexto a una expresión matemática.
• La resolución paso a paso.
• Una representación mediante recta numérica, tabla o esquema.
• Una explicación de por qué el resultado tiene sentido en la situación.

Materiales y recursos

• Tarjetas con números enteros y tarjetas de situaciones: temperatura, ganancias, pérdidas, deudas y cambios de nivel.
• Cinta adhesiva o cuerda para construir una recta numérica en el piso.
• Rectas numéricas impresas y hojas cuadriculadas.
• Fichas, tapas o monedas de dos colores para representar valores positivos y negativos.
• Hojas de trabajo, cartulinas o papel periódico, marcadores y lápices.
• Dados o tarjetas numéricas para retos de operaciones.
• Proyector o pizarra digital, si está disponible.
• Un dispositivo por estudiante, opcionalmente, para utilizar una recta numérica digital, una hoja de cálculo o un formulario de respuesta. La secuencia no depende de internet.
• Lista de cotejo y rúbrica de evaluación.

Ideas clave que se construirán

• El signo de un número puede indicar su posición respecto de cero o su sentido en un contexto.
• En la recta numérica, los números aumentan hacia la derecha y disminuyen hacia la izquierda.
• Sumar un número positivo implica avanzar hacia la derecha; sumar un número negativo implica avanzar hacia la izquierda.
• Restar un número equivale a sumar su opuesto: a - b = a + (-b).
• Al sumar enteros con el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se conserva el signo.
• Al sumar enteros con distinto signo, se restan los valores absolutos y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.
• En multiplicación y división, signos iguales producen resultado positivo y signos diferentes producen resultado negativo.
• La operación matemática debe corresponder al significado de la situación, no solo a una regla memorizada.

Secuencia de actividades

Actividad 1. Ubicamos, interpretamos y nos movemos en la recta numérica

Sesión: 1

Tiempo: 60 minutos

Objetivo parcial: Ubicar números enteros en la recta numérica, comparar su valor e interpretar los signos positivo y negativo en situaciones concretas.

Materiales: Cinta o cuerda, tarjetas de números enteros, tarjetas de situaciones, rectas numéricas impresas, fichas de dos colores y dispositivos opcionales.

Pasos

1. Situación inicial y diagnóstico, 10 minutos.

   Docente: Presenta la pregunta: “En una ciudad la temperatura es de -3 °C y en otra es de 2 °C. ¿Cuál es más fría? ¿Cómo lo sabes?”. Recoge respuestas sin corregir inmediatamente y registra errores frecuentes, especialmente la idea de que -3 es mayor que 2 porque 3 es mayor que 2.

   Estudiantes: Responden individualmente, explican qué significan los signos y comparan las temperaturas.

2. Recta numérica humana, 20 minutos.

   Docente: Construye una recta en el piso con el cero en el centro. Entrega tarjetas con números entre -10 y 10. Solicita que los estudiantes se ubiquen y formula preguntas como: “¿Quién está más cerca de cero?”, “¿Qué número está tres unidades a la izquierda de -2?”, “¿Qué número es menor: -5 o -1?”.

   Estudiantes: Se ubican físicamente en la recta, justifican sus posiciones y corrigen sus decisiones mediante la comparación de distancias y direcciones.

3. Signos en contextos, 15 minutos.

   Docente: Distribuye tarjetas con situaciones como: “gané 8 puntos”, “perdí 5 puntos”, “descendí 4 metros”, “tengo una deuda de 12 unidades” y “subí 6 metros”. Orienta a los equipos para asociar cada situación con un número entero.

   Estudiantes: Clasifican cada situación como positiva, negativa o dependiente del punto de referencia. Escriben una frase que explique el significado del signo.

4. Reto gamificado “Encuentra el entero”, 10 minutos.

   Docente: Lee pistas: “Soy menor que -2 y estoy a cuatro unidades de cero”. Otorga un punto por la respuesta y otro por la justificación.

   Estudiantes: Identifican el número, lo ubican en la recta y justifican su respuesta.

5. Cierre de la actividad, 5 minutos.

   Docente: Solicita un ticket de salida: “Explica con un ejemplo por qué -4 es menor que -1”.

   Estudiantes: Responden individualmente y entregan el ticket.

Transición: Antes de pasar a la siguiente actividad, verifica que los estudiantes puedan ubicar correctamente números positivos y negativos, ordenar al menos cinco enteros y explicar que un número negativo no representa necesariamente “algo malo”, sino una posición o cambio respecto de un punto de referencia.

Actividad 2. Del contexto a la expresión: sumas y restas de enteros

Sesiones: 2 y 3

Tiempo total: 120 minutos, distribuidos en 60 minutos por sesión

Objetivo parcial: Traducir situaciones de temperatura, ganancias, pérdidas, cambios de nivel y deudas a expresiones con números enteros, resolverlas mediante modelos concretos o recta numérica y explicar el significado del resultado.

Materiales: Tarjetas de problemas, rectas numéricas, fichas de dos colores, hojas cuadriculadas, marcadores, pizarra y dispositivos opcionales.

Sesión 2: Modelamos sumas y restas

1. Modelado docente, 15 minutos.

   Docente: Presenta el problema: “A las 6:00 a. m. la temperatura era de -4 °C. Durante la mañana aumentó 7 °C. ¿Cuál fue la temperatura final?”. Modela en la pizarra:

   -4 + 7 = 3

   Relaciona cada elemento con el contexto: temperatura inicial, aumento y temperatura final. Luego presenta: “Un buzo está a -6 metros y asciende 3 metros”.

   Estudiantes: Representan cada situación en una recta numérica y explican el sentido del movimiento.

2. Trabajo cooperativo con fichas, 20 minutos.

   Docente: Organiza equipos de cuatro con roles de lector, traductor, calculista y verificador. Entrega problemas como:

   • “Una cuenta tiene un saldo de -25 unidades. Se realiza un depósito de 40 unidades. ¿Cuál es el nuevo saldo?”.
   • “Un equipo tenía 12 puntos y perdió 18. ¿Con cuántos puntos queda?”.
   • “La temperatura era de 5 °C y descendió 9 °C. ¿Cuál es la temperatura final?”.

   Solicita que cada equipo complete la secuencia: contexto, expresión, representación, resultado y explicación.

   Estudiantes: Usan fichas o rectas numéricas para modelar, escriben la operación correspondiente y verifican que el resultado sea coherente con la situación.

3. Puesta en común, 15 minutos.

   Docente: Selecciona dos procedimientos diferentes para el mismo problema. Pregunta: “¿Por qué en una pérdida de 18 puntos aparece -18?” y “¿Qué diferencia hay entre tener una deuda de 25 y pagar 10?”.

   Estudiantes: Comparan procedimientos y argumentan el significado de cada signo.

4. Cierre, 10 minutos.

   Docente: Aplica una comprobación rápida con dos situaciones y solicita que primero escriban la expresión antes de calcular.

   Estudiantes: Resuelven individualmente y señalan qué palabra o dato les ayudó a elegir la operación.

Sesión 3: Generalizamos reglas y resolvemos problemas de dos pasos

1. Recuperación de aprendizajes, 10 minutos.

   Docente: Revisa respuestas de la sesión anterior y presenta errores anónimos para analizarlos. Evita enseñar reglas aisladas antes de relacionarlas con modelos.

   Estudiantes: Detectan el error, lo corrigen y explican qué interpretación fue incorrecta.

2. Construcción de reglas, 20 minutos.

   Docente: Guía la comparación de casos:

   • (+5) + (+3) = +8
   • (-5) + (-3) = -8
   • (+5) + (-3) = +2
   • (-5) + (+3) = -2

   Formula la regla a partir de los ejemplos, sin presentarla como una receta desconectada del significado.

   Estudiantes: Representan los casos con fichas, identifican el signo resultante y redactan con sus palabras la regla para sumar enteros.

3. Problemas de dos pasos, 20 minutos.

   Docente: Entrega problemas como: “Un ascensor se encuentra en el piso -2. Sube 7 pisos y luego baja 4. ¿En qué piso termina?”. También: “María tiene una deuda de 35 unidades, paga 20 y luego recibe un cobro de 8. ¿Cuál es su saldo?”. Solicita representar cada cambio y escribir una expresión completa.

   Estudiantes: Resuelven los problemas en equipo y justifican el orden de las operaciones según la secuencia de acontecimientos.

4. Juego “Bingo de expresiones”, 10 minutos.

   Docente: Lee situaciones; los estudiantes marcan en su tablero la expresión que corresponde. Se asigna un punto adicional si explican la traducción.

   Estudiantes: Relacionan rápidamente contexto y expresión, pero deben justificar antes de validar la respuesta.

Transición: Antes de pasar a la actividad 3, verifica que los estudiantes no solo calculen sumas y restas, sino que puedan explicar por qué una ganancia se representa con un número positivo, por qué una pérdida se representa con uno negativo y cómo se transforma una resta en suma del opuesto.

Actividad 3. Combinamos las cuatro operaciones y controlamos los signos

Sesión: 4

Tiempo: 60 minutos

Objetivo parcial: Resolver expresiones y problemas con multiplicación y división de números enteros, aplicando las reglas de los signos y respetando la jerarquía de operaciones.

Materiales: Tarjetas de operaciones, fichas de colores, pizarra, hojas de trabajo y dispositivos opcionales para comprobar resultados en una hoja de cálculo.

Pasos

1. Situación problematizadora, 10 minutos.

   Docente: Presenta: “Cada día una temperatura desciende 3 °C durante cuatro días. Si inicialmente era de 5 °C, ¿cuál será la temperatura al final?”. Guía a los estudiantes para reconocer que el cambio total puede expresarse como 5 + 4 × (-3).

   Estudiantes: Identifican las operaciones, anticipan si el resultado debe ser positivo o negativo y explican por qué.

2. Reglas de signos mediante patrones, 15 minutos.

   Docente: Organiza ejemplos de multiplicación y división:

   • (+4) × (+3) = +12
   • (-4) × (+3) = -12
   • (-4) × (-3) = +12
   • (+24) ÷ (-6) = -4
   • (-24) ÷ (-6) = +4

   Pregunta: “¿Qué cambia cuando los signos son iguales o diferentes?”.

   Estudiantes: Completan una tabla de signos y formulan la regla: signos iguales, resultado positivo; signos diferentes, resultado negativo.

3. Reto cooperativo por estaciones, 25 minutos.

   Docente: Distribuye cuatro estaciones. Cada equipo resuelve una tarjeta antes de avanzar:

   • Estación 1, ganancias: “Una persona gana 18 unidades durante 3 días y luego pierde 12. ¿Cuál es el balance?”.
   • Estación 2, deudas: “Una deuda de 48 unidades se reparte en 6 pagos iguales. ¿Qué representa cada pago?”.
   • Estación 3, temperatura: “La temperatura inicial es de -2 °C. Desciende 4 °C cada hora durante 3 horas y luego aumenta 5 °C. ¿Cuál es la temperatura final?”.
   • Estación 4, jerarquía: Resolver y explicar -6 + 3 × (-4) - (-8) ÷ 2.

   Revisa el procedimiento de cada equipo antes de entregar la tarjeta siguiente.

   Estudiantes: Identifican datos, traducen el problema a una expresión, aplican la jerarquía de operaciones, controlan los signos y justifican el resultado.

4. Reflexión individual, 10 minutos.

   Docente: Solicita completar: “Mi principal estrategia para no equivocarme con los signos es…” y “Antes de calcular una expresión con enteros debo…”.

   Estudiantes: Escriben una estrategia personal y resuelven una expresión breve de comprobación.

Transición: Antes de pasar a la actividad final, verifica que los estudiantes puedan distinguir el signo de cada número del signo de la operación, respetar la jerarquía de operaciones y anticipar el signo probable del resultado antes de calcularlo.

Actividad 4. Desafío de los enteros: creamos, resolvemos y explicamos

Sesión: 5

Tiempo: 60 minutos

Objetivo parcial: Integrar la interpretación de contextos, la representación, las cuatro operaciones y la argumentación matemática en la resolución y comunicación de un problema original.

Materiales: Cartulinas, hojas, marcadores, rúbrica, tarjetas de apoyo con contextos y dispositivos opcionales para elaborar una presentación sencilla o comprobar cálculos.

Pasos

1. Presentación del desafío, 5 minutos.

   Docente: Explica: “Cada equipo diseñará una situación realista en la que los números enteros ayuden a tomar una decisión o describir cambios”. Presenta como posibles contextos una expedición con cambios de altura, una cuenta con ingresos y deudas, un registro de temperaturas o un campeonato con ganancias y pérdidas de puntos.

   Estudiantes: Eligen un contexto y distribuyen responsabilidades.

2. Diseño del problema, 15 minutos.

   Docente: Exige que el problema incluya al menos tres operaciones, números positivos y negativos, y una pregunta clara. Revisa que los datos sean coherentes.

   Estudiantes: Redactan el problema, identifican los datos y escriben la expresión matemática correspondiente.

3. Resolución y representación, 20 minutos.

   Docente: Solicita que cada equipo incluya procedimiento paso a paso, uso correcto de la jerarquía de operaciones y una recta numérica, tabla o esquema. Formula preguntas de acompañamiento: “¿Qué representa cada signo?”, “¿Por qué eligieron esta operación?” y “¿El resultado es razonable?”.

   Estudiantes: Resuelven, revisan los signos, comprueban el resultado mediante una estrategia diferente y preparan una explicación breve.

4. Presentación y retroalimentación, 15 minutos.

   Docente: Organiza presentaciones de dos minutos por equipo. Los demás estudiantes utilizan la fórmula “comprendí…, verifico…, sugiero…”.

   Estudiantes: Exponen el contexto, la expresión, el procedimiento y la interpretación final. Escuchan y ofrecen retroalimentación respetuosa.

5. Cierre metacognitivo y evaluación individual, 5 minutos.

   Docente: Aplica un problema individual de salida y pregunta: “¿Qué haces primero cuando encuentras un problema con números enteros?”.

   Estudiantes: Resuelven el problema y escriben los pasos que seguirán en futuros problemas.

Evaluación

Criterios de evaluación

Rúbrica breve para el producto final

Evaluación formativa durante la secuencia

• Observación de la ubicación de los estudiantes en la recta numérica.
• Tickets de salida de las sesiones 1 y 2.
• Revisión de expresiones antes de permitir el cálculo en los retos.
• Preguntas orales sobre el significado de cada signo.
• Lista de cotejo para verificar: contexto, expresión, representación, cálculo y explicación.
• Autoevaluación final sobre las estrategias utilizadas.

Atención a errores frecuentes

• Error: afirmar que -8 es mayor que -3 porque 8 es mayor que 3. Intervención: volver a la recta numérica y comparar posiciones respecto de cero.
• Error: interpretar todo signo negativo como “quitar”. Intervención: diferenciar el signo del número y la operación; una temperatura de -5 °C describe una posición, no necesariamente una resta.
• Error: sumar los valores absolutos y conservar siempre el signo negativo. Intervención: usar fichas de colores para formar pares opuestos y observar cuál color queda.
• Error: cambiar automáticamente todos los signos al restar. Intervención: trabajar la equivalencia a - b = a + (-b) con ejemplos concretos.
• Error: aplicar las reglas de signos de multiplicación a la suma. Intervención: separar visualmente las reglas: suma y resta se interpretan con desplazamientos o valores absolutos; multiplicación y división se resuelven atendiendo a signos iguales o diferentes.
• Error: resolver de izquierda a derecha sin respetar la jerarquía. Intervención: marcar primero multiplicaciones y divisiones, y después sumas y restas.

Adaptación tecnológica y contingencia

Cuando haya dispositivos disponibles, los estudiantes pueden utilizar una recta numérica digital, una hoja de cálculo para comprobar operaciones o una presentación colaborativa para el producto final. El docente debe solicitar primero el procedimiento escrito y utilizar la herramienta digital solo para representar o verificar, no para sustituir el razonamiento.

Si falla la conectividad, se mantienen las actividades con rectas numéricas impresas, fichas, tarjetas, cartulinas y pizarra. Las expresiones pueden comprobarse mediante cálculo manual, estimación del signo del resultado y revisión entre pares.