Secuencia didáctica: de cada inecuación a la región factible

Área: Matemáticas

Nivel: Secundaria, 12 a 15 años

Duración total: 90 minutos

Meta de aprendizaje: Graficar la región factible de un sistema de inecuaciones.

Enfoque metodológico: STEAM, mediante la interpretación de restricciones, la representación gráfica, el trabajo colaborativo y la toma de decisiones a partir de un problema contextualizado.

Propósito de aprendizaje

Al finalizar la secuencia, el estudiante graficará correctamente la región factible de un sistema de inecuaciones lineales en dos variables, transformando cada inecuación en una recta límite, seleccionando línea continua o discontinua, probando puntos, sombreando los semiplanos correspondientes e identificando la intersección y sus vértices.

Objetivo SMART

En 90 minutos, ante un sistema de cuatro inecuaciones lineales y utilizando papel milimetrado o cuadriculado, el estudiante representará cada recta límite, determinará mediante un punto de prueba el semiplano solución, identificará la región factible como intersección y señalará sus vértices, alcanzando al menos el 80 % de los criterios de la lista de cotejo.

Materiales y recursos

• Papel cuadriculado o milimetrado.
• Regla, lápiz, borrador y colores.
• Tarjetas con inecuaciones y puntos de prueba.
• Cartulina o papelógrafo para cada equipo.
• Marcadores de dos o tres colores.
• Lista de cotejo para la evaluación formativa.
• Pizarra y marcadores.

Uso de TIC: La secuencia no depende de dispositivos ni de conectividad. Si se dispone de un proyector, puede utilizarse únicamente para mostrar una cuadrícula o una representación gráfica; si falla, se continúa con la pizarra y el papel cuadriculado.

Actividad 1. Modelado docente: una inecuación, una frontera y un semiplano

Tiempo: 15 minutos

Objetivo parcial

Reconocer que una inecuación se representa mediante una recta límite y un semiplano solución, diferenciando el tipo de línea según el signo de la desigualdad.

Situación de inicio

El docente presenta la siguiente restricción para diseñar un pequeño huerto escolar:

2x + y ≤ 8

Se explica que x y y representan cantidades o medidas, y que la desigualdad indica todos los pares ordenados que cumplen una condición. La región que contiene todas esas soluciones se denomina región solución.

Pasos

1. Acción del docente: Escribe la inecuación y pregunta: “¿Qué debemos hacer primero para saber dónde está la frontera de esta condición?”. Guía al grupo para reemplazar el signo ≤ por = y obtener la recta límite:

   2x + y = 8

2. Acción del docente: Construye una tabla de valores, por ejemplo:

   x	y	Punto
   0	8	(0, 8)
   4	0	(4, 0)

   Une los puntos para formar la recta límite.

3. Acción del docente: Explica que como la desigualdad contiene “≤”, los puntos de la recta sí pertenecen a la solución. Por eso se dibuja una línea continua. Compara con “<”: si la recta no pertenece a la solución, se usa una línea discontinua.

4. Acción del docente: Prueba el punto sencillo (0,0):

   2(0) + 0 ≤ 8, por lo tanto 0 ≤ 8 es verdadero.

   Se sombrea el lado de la recta que contiene al origen.

5. Acción del estudiante: Copia la representación, identifica la recta límite, el tipo de línea y el semiplano que debe sombrearse. Explica a un compañero por qué el punto (0,0) permite elegir el lado correcto.

Verificación rápida

El docente solicita respuestas breves:

• ¿Qué ecuación se usa para dibujar la frontera de una inecuación?
• ¿Cuándo se utiliza una línea continua?
• ¿Qué significa que un punto de prueba haga verdadera la inecuación?

Respuesta esperada: Se cambia la desigualdad por igualdad; se usa línea continua con ≤ o ≥; y el semiplano que contiene ese punto corresponde a la solución.

Transición: Antes de pasar a la siguiente actividad, verifica que los estudiantes puedan explicar las tres decisiones básicas: ecuación límite, tipo de línea y lado que se sombrea.

Actividad 2. Taller colaborativo: de varias restricciones a una región común

Tiempo: 25 minutos

Objetivo parcial

Representar varias inecuaciones en el mismo plano y determinar la región que cumple simultáneamente todas las condiciones.

Situación contextualizada

Un equipo diseña un espacio rectangular para un huerto escolar. x representa el número de módulos de cultivo del tipo A y y el número de módulos del tipo B. El diseño debe cumplir:

x + y ≤ 8

2x + y ≤ 10

x ≥ 0

y ≥ 0

Organización

Se forman equipos de tres o cuatro estudiantes con los siguientes roles:

• Coordinador: organiza los turnos y verifica los acuerdos.
• Representante gráfico: construye el plano y dibuja las rectas.
• Verificador: prueba puntos y revisa los signos.
• Relator: explica el procedimiento y registra los vértices.

Pasos

1. Acción del docente: Entrega el sistema y recuerda que cada inecuación representa una condición diferente. Indica que todas deben graficarse en el mismo plano.

2. Acción del estudiante: Convierte las dos primeras inecuaciones en ecuaciones límite:

   x + y = 8

   2x + y = 10

3. Acción del estudiante: Calcula dos puntos para cada recta. Por ejemplo:

   Recta límite	Puntos posibles	Tipo de línea
   x + y = 8	(0,8) y (8,0)	Continua
   2x + y = 10	(0,10) y (5,0)	Continua

4. Acción del estudiante: Representa las condiciones x ≥ 0 y y ≥ 0 como los ejes coordenados. Estas condiciones indican que se trabajará en el primer cuadrante.

5. Acción del estudiante: Utiliza el punto de prueba (0,0) para decidir qué semiplano corresponde a cada desigualdad:

   • Para x + y ≤ 8: 0 + 0 ≤ 8, verdadero.
   • Para 2x + y ≤ 10: 2(0) + 0 ≤ 10, verdadero.

   Por tanto, se sombrea el lado que contiene al origen, respetando también el primer cuadrante.

6. Acción del estudiante: Identifica la zona donde coinciden todos los sombreados. Esa zona es la región factible.

7. Acción del docente: Recorre los equipos y pregunta: “¿Una región que cumple solo tres de las cuatro condiciones puede ser factible?”. Orienta a concluir que la región factible debe cumplir todas las inecuaciones al mismo tiempo.

Vértices esperados

La región factible tiene como vértices:

• (0,0)
• (0,8)
• (2,6), intersección de x + y = 8 y 2x + y = 10
• (5,0)

Para encontrar la intersección de las dos rectas, se puede resolver:

x + y = 8

2x + y = 10

Al restar la primera ecuación de la segunda, se obtiene x = 2. Luego, y = 6. Por tanto, el punto de intersección es (2,6).

Transición: Antes de pasar a la siguiente actividad, verifica que cada equipo haya:

• Dibujado las cuatro fronteras.
• Usado líneas continuas porque las desigualdades incluyen ≥ o ≤.
• Probado al menos un punto para cada semiplano.
• Marcado solamente la zona común a todas las condiciones.

Actividad 3. Desafío STEAM: diseñar y justificar una región factible

Tiempo: 30 minutos

Objetivo parcial

Aplicar de manera autónoma el procedimiento completo para resolver gráficamente un sistema de inecuaciones y justificar la forma de la región factible y sus vértices.

Desafío de diseño

Un grupo de estudiantes diseña una zona de experimentación con dos tipos de estaciones: x estaciones de medición del suelo y y estaciones de observación de plantas. El espacio y los materiales disponibles imponen las siguientes restricciones:

3x + 2y ≤ 12

x + y ≤ 5

x ≥ 0

y ≥ 0

Pasos

1. Acción del docente: Entrega a cada equipo una cartulina y presenta el desafío: “Construyan una representación clara que permita decidir qué combinaciones de estaciones son posibles y cuáles no”.

2. Acción del estudiante: Reescribe cada inecuación como ecuación límite y calcula puntos suficientes para dibujarla:

   Recta límite	Puntos posibles
   3x + 2y = 12	(0,6) y (4,0)
   x + y = 5	(0,5) y (5,0)

3. Acción del estudiante: Dibuja las rectas con línea continua, incorpora los ejes y prueba el punto (0,0) en cada inecuación.

4. Acción del estudiante: Sombrea cada semiplano con un color distinto. Después, utiliza un tercer color o un rayado para destacar únicamente la intersección de todos los semiplanos.

5. Acción del estudiante: Calcula o identifica los vértices de la región factible. Los resultados esperados son:

   • (0,0)
   • (0,5)
   • (2,3), intersección de 3x + 2y = 12 y x + y = 5
   • (4,0)

6. Acción del estudiante: Redacta una explicación breve: “La región factible es… porque todos sus puntos cumplen…”. Debe mencionar al menos dos restricciones y explicar por qué los vértices pertenecen a las fronteras.

7. Acción del docente: Realiza preguntas de acompañamiento:

   • ¿Qué ocurre si un punto está en el sombreado de una sola inecuación?
   • ¿Por qué el punto (2,3) es importante?
   • ¿Qué significado tienen los ejes en este contexto?
   • ¿Los puntos de la frontera están incluidos? ¿Cómo lo sabes?

Socialización breve

Cada equipo expone durante un minuto su gráfico. Los demás equipos verifican utilizando tres preguntas:

• ¿Las rectas límite están correctamente construidas?
• ¿El sombreado corresponde a las desigualdades?
• ¿La región destacada cumple simultáneamente todas las condiciones?

Transición: Antes de pasar a la actividad individual, verifica que los estudiantes comprendan que el sombreado de cada inecuación no es la respuesta final: la respuesta es únicamente la intersección común de todos los semiplanos.

Actividad 4. Comprobación individual y metacognición

Tiempo: 20 minutos

Objetivo parcial

Demostrar individualmente el dominio del procedimiento para graficar una región factible y reconocer el efecto de una desigualdad estricta o no estricta.

Ejercicio individual

Representa gráficamente el siguiente sistema:

x + y ≤ 6

x ≥ 2

y ≥ 1

Pasos esperados del estudiante

1. Transformar x + y ≤ 6 en la recta límite x + y = 6.
2. Ubicar, por ejemplo, los puntos (0,6) y (6,0).
3. Dibujar la recta con línea continua.
4. Representar x ≥ 2 como una recta vertical continua y ≥ 1 como una recta horizontal continua.
5. Probar un punto, como (3,2), para comprobar que pertenece a la región.
6. Sombrear la intersección de las tres condiciones.
7. Identificar los vértices: (2,1), (2,4) y (5,1).

Extensión breve sobre línea discontinua

El docente solicita comparar el sistema anterior con:

x + y < 6

Pregunta: “¿Qué cambiaría en la representación?”.

Respuesta esperada: La recta x + y = 6 se dibujaría discontinua porque los puntos de la frontera no forman parte de la solución. La región se sombrearía del mismo lado que contiene al punto (0,0), pero la frontera quedaría excluida.

Cierre metacognitivo

Cada estudiante completa oralmente o por escrito las siguientes frases:

• “Primero, para graficar una inecuación, debo…”
• “Sé que debo usar una línea discontinua cuando…”
• “La región factible se obtiene…”
• “Para comprobar si un punto pertenece a la región,…”

Criterios de evaluación

Criterio	Logro esperado
Transformación de la inecuación	Convierte correctamente cada inecuación en su recta límite.
Tipo de línea	Utiliza línea continua para ≤ o ≥ y discontinua para < o >.
Representación de la recta	Ubica correctamente puntos de la recta y la representa en el plano cartesiano.
Prueba de puntos	Elige y sustituye un punto para determinar el semiplano solución.
Intersección de regiones	Identifica como región factible únicamente la zona que cumple todas las inecuaciones.
Vértices y límites	Reconoce y señala los vértices y las fronteras que delimitan la región.
Comunicación matemática	Justifica con lenguaje matemático básico por qué una región o un punto es factible.

Lista de cotejo para evaluación formativa

Indicador	Sí	En proceso	No todavía
Transforma correctamente las inecuaciones en ecuaciones límite.
Diferencia entre línea continua y discontinua.
Usa correctamente un punto de prueba.
Representa el semiplano correspondiente a cada condición.
Identifica la intersección de todos los semiplanos.
Reconoce los vértices de la región factible.
Explica el procedimiento y puede justificar su respuesta.