Sesión completa: de la situación cotidiana a la función y su gráfica

Área: Matemáticas

Grado: 2.º de Secundaria

Duración de la sesión: 120 minutos

Ubicación sugerida: Primera sesión de una secuencia de 3 semanas, con una dedicación total de 24 horas.

Tema: Función lineal y función afín

Metodología predominante: Explicación magistral breve, demostración guiada, resolución colaborativa de situaciones contextualizadas y evaluación formativa.

1. Propósito de la sesión

Que los estudiantes comprendan la diferencia entre una función lineal y una función afín, relacionando una situación cotidiana con su tabla de valores, expresión algebraica y gráfica. Además, interpretarán la pendiente y la ordenada al origen para resolver problemas de proporcionalidad y variación.

2. Objetivo de aprendizaje SMART

Al finalizar la sesión de 120 minutos, los estudiantes construirán y analizarán funciones lineales y afines a partir de situaciones contextualizadas, elaborando la tabla de valores, la expresión algebraica y la gráfica correspondiente, e interpretando correctamente la pendiente y la ordenada al origen en al menos 3 de 4 criterios de una lista de cotejo.

3. Aprendizajes esperados

• Reconoce una función lineal de la forma f(x) = mx.
• Reconoce una función afín de la forma f(x) = mx + b.
• Diferencia una función lineal de una función afín mediante su expresión, tabla y gráfica.
• Interpreta la pendiente m como la variación de la cantidad de salida por cada unidad de entrada.
• Interpreta la ordenada al origen b como el valor inicial de la situación y como el punto donde la gráfica corta el eje vertical.
• Construye tablas, pares ordenados y gráficas en el plano cartesiano.
• Explica el significado de una función en un contexto cotidiano.

4. Conceptos clave

Concepto	Descripción	Ejemplo
Variable independiente	Valor que se elige o que cambia inicialmente. Se representa usualmente con x.	Número de kilómetros recorridos.
Variable dependiente	Valor que cambia según la variable independiente. Se representa usualmente con y o f(x).	Costo total del viaje.
Pendiente m	Indica cuánto aumenta o disminuye la variable dependiente por cada unidad que aumenta la variable independiente.	12 pesos por cada kilómetro.
Ordenada al origen b	Valor inicial de la función cuando x = 0. En la gráfica, es el punto donde la recta corta el eje vertical.	35 pesos de tarifa inicial.
Función lineal	Se expresa como f(x) = mx. Su gráfica es una recta que pasa por el origen (0, 0).	f(x) = 5x.
Función afín	Se expresa como f(x) = mx + b, con b distinto de cero. Su gráfica es una recta que no pasa por el origen.	f(x) = 12x + 35.

Nota didáctica: En algunos materiales se utiliza la expresión “función lineal” para referirse a cualquier función de la forma mx + b. En esta sesión se emplea la distinción escolar más habitual: función lineal f(x) = mx y función afín f(x) = mx + b.

5. Materiales y recursos

• Pizarra y marcadores.
• Cuaderno, lápiz, regla y colores.
• Hojas cuadriculadas o papel milimetrado.
• Tarjetas o fichas con situaciones y expresiones algebraicas.
• Cartel o diapositiva con las formas f(x) = mx y f(x) = mx + b.
• Celulares de los estudiantes, opcionalmente, para tomar una fotografía de la gráfica o comprobarla con una aplicación de representación gráfica.
• Lista de cotejo para la evaluación formativa.

Contingencia tecnológica: La sesión no depende de internet ni de los celulares. Si se utilizan dispositivos y falla la conectividad, los estudiantes construirán las tablas y gráficas manualmente en papel cuadriculado. El docente puede dibujar en la pizarra una plantilla de plano cartesiano.

6. Secuencia didáctica

Inicio: ¿el precio depende solo de lo que consumo?

Tiempo total del inicio: 20 minutos

6.1. Gancho motivador: situación del servicio de transporte

Tiempo: 10 minutos

Situación presentada por el docente:

“Un servicio de transporte cobra una tarifa inicial de 35 pesos y agrega 12 pesos por cada kilómetro recorrido. Otro servicio de bicicletas cobra 5 pesos por cada hora de uso, sin tarifa inicial”.

Servicio	Pregunta
Transporte	¿Cuánto se paga si no se recorre ningún kilómetro? ¿Y si se recorren 1, 2 o 3 kilómetros?
Bicicleta	¿Cuánto se paga si se usa durante 0, 1, 2 o 3 horas?

Acciones del docente:

• Presenta las dos situaciones en la pizarra.
• Solicita estimaciones rápidas, sin exigir todavía una fórmula.
• Pregunta: “¿Qué cantidad cambia?”, “¿Qué cantidad depende de la otra?” y “¿Qué pago existe aunque la distancia o el tiempo sean cero?”.
• Registra respuestas diferentes para utilizarlas como punto de partida.

Acciones de los estudiantes:

• Analizan las situaciones individualmente.
• Comentan sus estimaciones con un compañero.
• Identifican la cantidad que varía y el posible valor inicial.
• Explican verbalmente cómo calcularían algunos valores.

6.2. Activación de saberes previos

Tiempo: 10 minutos

El docente solicita respuestas breves a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es una variable?
2. ¿Cómo se representa un punto en el plano cartesiano?
3. ¿Qué información contiene una tabla de valores?
4. ¿Cómo se construye un par ordenado?
5. ¿Qué significa que una cantidad dependa de otra?
6. ¿Qué diferencia observan entre una situación que empieza en cero y otra que tiene un valor inicial?

Acciones del docente:

• Recupera conocimientos sobre pares ordenados, tablas y plano cartesiano.
• Corrige únicamente errores indispensables para continuar.
• Explica que en la sesión se conectarán cuatro representaciones: situación verbal, tabla, expresión algebraica y gráfica.

Acciones de los estudiantes:

• Responden de forma oral o escrita.
• Relacionan los datos de las situaciones con las variables x e y.
• Formulan una primera hipótesis sobre cuál servicio representa una función lineal y cuál una función afín.

Desarrollo

Tiempo total del desarrollo: 85 minutos

6.3. Explicación magistral dialogada: de la situación a la expresión

Tiempo: 20 minutos

El docente desarrolla los ejemplos en la pizarra, solicitando la participación de los estudiantes en cada paso.

Ejemplo 1: función afín del transporte

Se define:

x = kilómetros recorridos.

y = costo total en pesos.

Como se pagan 12 pesos por cada kilómetro y existe una tarifa inicial de 35 pesos:

f(x) = 12x + 35

x: kilómetros	Cálculo	f(x): costo	Par ordenado
0	12(0) + 35	35	(0, 35)
1	12(1) + 35	47	(1, 47)
2	12(2) + 35	59	(2, 59)
3	12(3) + 35	71	(3, 71)

El docente enfatiza:

• m = 12: el costo aumenta 12 pesos por cada kilómetro.
• b = 35: se pagan 35 pesos inicialmente, incluso cuando x = 0.
• La gráfica corta el eje vertical en (0, 35).
• Es una función afín porque b es distinto de cero.

Ejemplo 2: función lineal del alquiler de bicicletas

Se define:

x = horas de uso.

y = costo total en pesos.

Como se pagan 5 pesos por cada hora y no hay tarifa inicial:

g(x) = 5x

x: horas	Cálculo	g(x): costo	Par ordenado
0	5(0)	0	(0, 0)
1	5(1)	5	(1, 5)
2	5(2)	10	(2, 10)
3	5(3)	15	(3, 15)

El docente enfatiza:

• m = 5: el costo aumenta 5 pesos por cada hora.
• b = 0: no existe cobro inicial.
• La gráfica pasa por el origen (0, 0).
• Es una función lineal.

Preguntas orientadoras del docente:

• ¿Qué representa el número que multiplica a x?
• ¿Qué representa el número que aparece sumando?
• ¿Cómo podemos identificar el valor inicial en una tabla?
• ¿Qué diferencia gráfica observamos entre 5x y 12x + 35?
• ¿Puede una función afín tener pendiente negativa? ¿Qué significaría?

Acciones del docente:

• Explica el procedimiento de manera gradual.
• Relaciona permanentemente las expresiones con el contexto.
• Subraya la pendiente y encierra la ordenada al origen.
• Modela la construcción de una tabla y la ubicación de puntos.
• Solicita que los estudiantes anticipen cada resultado antes de escribirlo.

Acciones de los estudiantes:

• Copian y completan las tablas.
• Identifican m y b.
• Explican oralmente el significado de cada parámetro.
• Comparan las dos expresiones algebraicas.

6.4. Construcción guiada de gráficas

Tiempo: 20 minutos

Los estudiantes trabajan en parejas con papel cuadriculado. Representan las funciones:

• f(x) = 12x + 35, utilizando los valores de la tabla del transporte.
• g(x) = 5x, utilizando los valores de la tabla de bicicletas.

Procedimiento que debe seguir cada pareja:

1. Dibujar los ejes horizontal y vertical.
2. Nombrar los ejes: kilómetros u horas en el eje x; costo en pesos en el eje y.
3. Elegir una escala adecuada.
4. Ubicar los pares ordenados.
5. Unir los puntos con una línea recta.
6. Marcar el punto donde la recta corta el eje vertical.
7. Escribir debajo de cada gráfica si corresponde a una función lineal o afín.

Acciones del docente:

• Verifica que los estudiantes ubiquen correctamente los pares ordenados.
• Pregunta: “¿Por qué la gráfica del transporte no comienza en el origen?”.
• Pregunta: “¿Qué representa la inclinación de cada recta?”.
• Apoya la elección de escalas sin entregar directamente la respuesta.
• Solicita que una pareja explique su procedimiento al grupo.

Acciones de los estudiantes:

• Construyen las gráficas en parejas.
• Comprueban que los valores de la tabla coincidan con los puntos.
• Interpretan la inclinación y el punto de intersección con el eje vertical.
• Comparan cuál función crece más rápidamente y justifican su respuesta mediante la pendiente.

6.5. Actividad colaborativa: “Del problema a la función”

Tiempo: 30 minutos

El docente organiza equipos de tres o cuatro estudiantes. Entrega una situación a cada equipo. Todos los equipos deben completar una ficha con los siguientes apartados:

1. Identificar la variable independiente y la variable dependiente.
2. Determinar la pendiente.
3. Determinar la ordenada al origen.
4. Escribir la expresión algebraica.
5. Completar una tabla con al menos cuatro valores.
6. Construir la gráfica.
7. Indicar si es una función lineal o afín.
8. Explicar el significado de la respuesta en el contexto.

Situación A: ahorro semanal

Mariana inicia su ahorro con 100 pesos y guarda 40 pesos cada semana.

Respuesta esperada:

A(x) = 40x + 100

• m = 40: cantidad que ahorra cada semana.
• b = 100: dinero con el que inicia.
• Es una función afín.

Situación B: consumo de agua

Un recipiente contiene 8 litros de agua y pierde 2 litros por minuto debido a una fuga.

Respuesta esperada:

V(x) = 8 - 2x

• m = -2: pierde 2 litros por minuto.
• b = 8: cantidad inicial de agua.
• Es una función afín en el intervalo en que el recipiente tenga agua.

Situación C: compra de cuadernos

Cada cuaderno cuesta 18 pesos y no existe cargo adicional.

Respuesta esperada:

C(x) = 18x

• m = 18: costo de cada cuaderno.
• b = 0: si no se compra ningún cuaderno, no se paga.
• Es una función lineal.

Situación D: plan de telefonía

Un plan telefónico cobra una cuota fija de 150 pesos y 3 pesos por cada gigabyte adicional utilizado.

Respuesta esperada:

P(x) = 3x + 150

• m = 3: costo de cada gigabyte adicional.
• b = 150: cuota fija.
• Es una función afín.

Acciones del docente:

• Asigna roles: lector, calculista, encargado de la gráfica y portavoz.
• Entrega una situación por equipo y acompaña el proceso con preguntas.
• No corrige inmediatamente; pide justificar cada decisión.
• Detecta errores frecuentes y realiza una pausa general si varios equipos confunden m y b.
• Solicita una explicación breve de dos equipos con situaciones diferentes.

Preguntas de acompañamiento:

• ¿Qué cantidad cambia de manera constante?
• ¿Qué valor tendría la situación cuando x = 0?
• ¿Ese valor inicial aparece multiplicando o sumando?
• ¿La pendiente es positiva o negativa? ¿Qué significa en el problema?
• ¿La gráfica pasa por el origen? ¿Qué nos permite concluir?
• ¿Qué valores de x son razonables en esta situación?

Acciones de los estudiantes:

• Analizan la información del problema.
• Construyen conjuntamente la expresión, la tabla y la gráfica.
• Verifican los resultados sustituyendo valores de x.
• Presentan una justificación, no solamente una respuesta numérica.

6.6. Comprobación individual de comprensión

Tiempo: 15 minutos

Cada estudiante resuelve individualmente el siguiente ejercicio de salida parcial:

Una empresa de mensajería cobra 25 pesos por recoger un paquete y 8 pesos por cada kilómetro recorrido.

1. Define las variables.
2. Escribe la función que representa el costo.
3. Indica la pendiente y explica su significado.
4. Indica la ordenada al origen y explica su significado.
5. Calcula el costo de un envío de 4 kilómetros.
6. Indica si es una función lineal o afín y justifica.
7. Representa al menos tres puntos en un plano cartesiano.

Respuesta esperada:

M(x) = 8x + 25

• m = 8: se pagan 8 pesos por cada kilómetro.
• b = 25: costo inicial por recoger el paquete.
• M(4) = 8(4) + 25 = 57.
• Es una función afín porque la ordenada al origen es distinta de cero.

Acciones del docente:

• Observa si cada estudiante puede pasar de la situación verbal a la expresión algebraica.
• Recoge o revisa rápidamente los procedimientos.
• Selecciona dos respuestas anónimas, una correcta y otra con un error frecuente, para analizarlas en el cierre.

Acciones de los estudiantes:

• Resuelven de forma individual.
• Escriben explicaciones completas.
• Comprueban su resultado mediante sustitución.

Cierre: organizar lo aprendido y reflexionar

Tiempo total del cierre: 15 minutos

6.7. Síntesis colectiva

Tiempo: 7 minutos

El docente construye con el grupo una síntesis en la pizarra:

Característica	Función lineal	Función afín
Expresión	f(x) = mx	f(x) = mx + b
Ordenada al origen	b = 0	b es distinto de cero
Gráfica	Pasa por el origen	No necesariamente pasa por el origen
Significado de m	Cambio constante por cada unidad de x
Significado de b	Valor inicial cuando x = 0

Pregunta clave: “¿Por qué una situación con un pago inicial se representa generalmente mediante una función afín?”.

6.8. Metacognición

Tiempo: 5 minutos

Los estudiantes responden en su cuaderno:

1. Hoy aprendí que la pendiente representa...
2. Para encontrar la ordenada al origen debo observar...
3. El error que debo evitar al diferenciar una función lineal de una afín es...
4. Lo que todavía necesito practicar es...

6.9. Evaluación formativa y cierre final

Tiempo: 3 minutos

El docente solicita que todos respondan en una tarjeta o en el cuaderno:

“Escribe una diferencia entre la función lineal y la función afín y proporciona un ejemplo de cada una”.

El docente clasifica las respuestas en tres grupos:

• Comprensión lograda: diferencia expresión, valor inicial y gráfica correctamente.
• Comprensión parcial: identifica la fórmula, pero confunde el significado de los parámetros.
• Necesita apoyo: no relaciona la situación con la expresión o la gráfica.

7. Evaluación

7.1. Evidencias de aprendizaje

• Tabla de valores y gráfica de las funciones del inicio.
• Ficha colaborativa de una situación contextualizada.
• Resolución individual del problema de mensajería.
• Respuesta de metacognición y tarjeta de salida.

7.2. Criterios de evaluación alineados al objetivo

Criterio	Logro esperado	Evidencia
Identificación de variables	Distingue correctamente la variable independiente y la dependiente.	Situación contextualizada y problema individual.
Construcción de la expresión	Escribe una expresión de la forma mx o mx + b de acuerdo con la situación.	Ficha colaborativa y ejercicio individual.
Interpretación de parámetros	Explica qué representa la pendiente y qué representa la ordenada al origen.	Explicación escrita y participación oral.
Representación gráfica	Construye una tabla, ubica pares ordenados y traza una recta coherente con la expresión.	Gráfica en papel cuadriculado.
Diferenciación conceptual	Distingue una función lineal de una afín por su expresión, tabla o gráfica.	Clasificación y justificación.
Interpretación contextual	Explica el significado de la respuesta usando las unidades y el contexto.	Problema de mensajería y presentación del equipo.

7.3. Lista de cotejo

Indicador	Sí	En proceso	No todavía
Identifica correctamente las variables x e y.
Determina la pendiente a partir de la situación.
Determina la ordenada al origen.
Escribe correctamente la expresión algebraica.
Completa una tabla de valores sin errores de sustitución.
Representa correctamente los pares ordenados y la recta.
Diferencia función lineal y función afín.
Interpreta la respuesta dentro de la situación planteada.

8. Errores previsibles y retroalimentación

Error frecuente	Intervención docente
Confundir la pendiente con la ordenada al origen.	Preguntar: “¿Qué valor cambia por cada unidad?” y “¿Qué valor existe cuando x vale cero?”.
Escribir f(x) = 35x + 12 para el transporte.	Releer la situación y distinguir el cobro “por cada kilómetro” del cobro “inicial”.
Considerar que toda recta es función lineal.	Solicitar que observe si pasa por el origen. Si no pasa por el origen, en esta sesión se clasifica como afín.
Ubicar el punto (y, x) en lugar de (x, y).	Recordar: primero se avanza horizontalmente con x y luego verticalmente con y.
Interpretar una pendiente negativa como un resultado incorrecto.	Relacionar el signo negativo con una disminución, como la pérdida de agua por una fuga.
Extender la gráfica sin considerar el contexto.	Preguntar qué valores de x son posibles en la situación real.

9. Adecuaciones y atención a la diversidad

• Proporcionar a estudiantes que lo requieran una tabla parcialmente completada.
• Entregar una plantilla de plano cartesiano con ejes y escala sugerida.
• Permitir que expliquen oralmente el significado de la pendiente antes de escribirlo.
• Formar parejas heterogéneas para favorecer la explicación entre compañeros.
• Para estudiantes que avanzan con mayor rapidez, solicitar que inventen una situación cuya función sea f(x) = -3x + 20 e interpreten sus parámetros.
• Recordar que los valores de x deben ser coherentes con el contexto: por ejemplo, no tiene sentido usar una cantidad negativa de cuadernos.

10. Proyección para las siguientes sesiones de la secuencia de 24 horas

• Sesión 2: cálculo e interpretación de la pendiente a partir de dos puntos, crecimiento y decrecimiento.
• Sesión 3: resolución de problemas de tarifas, consumo, ahorro y variación.
• Sesión 4: comparación de funciones lineales y afines en una misma gráfica.
• Sesión 5: intersecciones con los ejes y significado de los puntos de corte.
• Sesión 6: modelación de una situación real mediante una función.
• Sesiones posteriores: aplicación, evaluación integradora y recuperación de dificultades.