Geometría analítica en el plano y en el espacio

1. Representación explícita de rectas en el plano – Forma y = mx + b; interpretación de pendiente m y ordenada al origen b; manejo de rectas verticales.
2. Representación implícita de rectas en el plano – Forma ax + by + c = 0; vector normal y ventajas para cálculos de distancias y ángulos.
3. Representación paramétrica de rectas en el plano – Ecuaciones x = x0 + t vx, y = y0 + t vy; interpretación del parámetro y del vector directivo; uso para intersecciones y trazado.
4. Representación de planos en el espacio – Forma implícita ax + by + cz + d = 0; forma paramétrica r = r0 + su + tv; relación entre normal y direcciones; ejemplos prácticos.

• Actividad 1: Explorando rectas en el plano – Trabajo en parejas para convertir entre las tres representaciones (y = mx + b, ax + by + c = 0 y x = x0 + t vx, y = y0 + t vy). Se grafica y se analizan interceptos y pendientes. Puntos clave: equivalencias entre representaciones y criterios para elegir una forma. Aprendizajes: dominio de las tres representaciones y sus usos.
• Actividad 2: Modelado de un plano en el espacio – A partir de un punto y un vector normal (o tres puntos no colineales), se obtiene la ecuación implícita ax + by + cz + d = 0 y se verifica con pruebas de distancia y perpendicularidad. Aprendizajes: uso de producto escalar y producto vectorial para hallar normales.
• Actividad 3: Decidir la mejor representación – Problemas propuestos (intersección, distancia) donde los estudiantes deben justificar la forma de representación más adecuada y explicar su elección. Aprendizajes: razonamiento contextual y comunicación matemática.

• Evaluación del objetivo general - Ejercicios de reconocimiento y conversión de representaciones en 2D y 3D (40%).
• Evaluación del objetivo específico 1 - Cuestionarios y tareas de conversión entre formas (30%).
• Evaluación del objetivo específico 2 - Resolución de problemas que exijan selección de la representación adecuada y justificación (20%).
• Evaluación del objetivo específico 3 - Actividad de análisis de casos y breve presentación (10%).

4 semanas

1. Distancia punto-recta en el plano – Fórmula d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2) para la recta Ax + By + C = 0; interpretación geométrica y ejemplos.
2. Distancia punto-plano en el espacio – Fórmula d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) para el plano Ax + By + Cz + D = 0; interpretación y casos prácticos.
3. Distancia entre dos puntos – En 2D: d = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2); en 3D: d = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2).
4. Aplicaciones y problemas mixtos – Ejercicios que combinan distancias en planos y espacios para interpretar configuraciones geométricas y resolver problemas de ubicación.

• Actividad 1: Cálculo de distancias en el plano – Dado una recta en la forma ax + by + c = 0 y un punto (x0, y0), se calcula la distancia y se interpretan los resultados mediante gráficos. Aprendizajes: uso correcto de la fórmula y verificación mediante gráficos.
• Actividad 2: Distancia punto-plano en 3D – Se dan planos y puntos en el espacio; se calcula la distancia y se discute su significado geométrico respecto a la perpendicularidad entre la recta de menor distancia y el plano. Aprendizajes: aplicación de la fórmula en 3D y comprensión de la perpendicularidad.
• Actividad 3: Distancia entre puntos – Comparación de distancias entre pares de puntos en 2D y 3D en contextos de diseño o ubicación de objetos. Aprendizajes: análisis de configuraciones espaciales y verificación con herramientas gráficas o software.

• Evaluación del objetivo general - Resolución de ejercicios de distancia en 2D y 3D (40%).
• Evaluación del objetivo específico 1 - Preguntas cortas sobre derivación y justification de fórmulas (25%).
• Evaluación del objetivo específico 2 - Problemas aplicados que combinen varias distancias (25%).
• Evaluación del objetivo específico 3 - Tarea de proyecto corto con reporte escrito (10%).

3 semanas

1. Intersección de dos rectas en el plano – Métodos de sustitución y eliminación; casos de solución única, infinita (mis coincidentes) o nula (paralelas).
2. Intersección entre recta y plano en el espacio – Resolver sistemas lineales o usar ecuaciones paramétricas; interpretación de la intersección como un punto o vacío.
3. Intersección de dos planos – Línea de intersección; cálculo con métodos algebraicos y verificación geométrica; relación con vectores normales.
4. Aplicaciones y ejercicios de intersección – Problemas prácticos que requieren encontrar intersecciones y validar resultado.

• Actividad 1: Intersección de rectas en el plano – Resolver sistemas lineales para encontrar puntos de intersección; discutir casos de paralelismo y coincidencia. Aprendizajes: resolución de sistemas y criterios de existencia de intersección.
• Actividad 2: Intersección recta-plano en 3D – Dado una recta en forma paramétrica y un plano en forma implícita, hallar la intersección y comprobarla mediante sustitución. Aprendizajes: uso de sistemas y comprensión de la geometría 3D.
• Actividad 3: Intersección de dos planos – Hallar la línea de intersección de dos planos dados; interpretación geométrica y verificación mediante sustitución en ambas ecuaciones.

• Evaluación del objetivo general - Ejercicios de intersección en 2D y 3D (40%).
• Evaluación del objetivo específico 1 - Problemas de sustitución y eliminación para rectas en el plano (25%).
• Evaluación del objetivo específico 2 - Resolución de intersecciones en 3D (25%).
• Evaluación del objetivo específico 3 - Preguntas de interpretación y validación (10%).

3 semanas

1. Fundamentos y formas canónicas de las cónicas – Definiciones y ecuaciones tiempo-canonicas de circunferencia, elipse, parabola e hipérbola; interpretación de ejes y posición.
2. Circunferencia – Ecuación (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2; centro (h, k) y radio r; derivación a partir de datos y ejemplos prácticos.
3. Elipse – Ecuación canónica (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1; interpretación de ejes y foco; transformación a la forma general si corresponde.
4. Parábola – Definición con foco y directriz; ecuación canónica y general; propiedades de apertura y eje.
5. Hipérbola – Ecuación canónica (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 o (y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1; centro, ejes y focos; transformación entre formas.
6. Conversión entre formas y uso de datos – Cómo pasar de datos como centro/foco a ecuaciones explícitas y cómo convertir entre formas canónicas y generales.

• Actividad 1: Reconocimiento de cónicas – Identificación de la cónica a partir de parámetros dados, interpretación de centro, ejes y focales. Aprendizajes: reconocer tipos de cónicas a partir de su ecuación y datos.
• Actividad 2: Construcción de circunferencias a partir de datos – Dado el centro y el radio, construir la ecuación en forma canónica y luego en forma general; validar con puntos conocidos.
• Actividad 3: Elipses, parábolas e hipérbolas – Construcción de ecuaciones canónicas a partir de información de ejes, focos y directrices; conversión a forma general y análisis de propiedades geométricas.
• Actividad 4: Transformaciones entre formas – Practicar conversiones entre forma canónica y general para diversas cónicas y discutir las ventajas de cada representación para resolver problemas.

• Evaluación del objetivo general - Trabajo práctico de construcción de al menos dos cónicas a partir de datos y conversión entre formas (40%).
• Evaluación del objetivo específico 1 - Preguntas de identificación de la cónica a partir de su ecuación y datos (25%).
• Evaluación del objetivo específico 2 - Ejercicios de construcción de ecuaciones a partir de datos (25%).
• Evaluación del objetivo específico 3 - Tarea de aplicación que requiera transformación entre formas y análisis de propiedades (10%).

4-5 semanas